Centro de Massa e Momento Linear

Qualquer perito contratado como especialista para reconstruir um acidente de trânsito, usará a Física, qualquer técnico que ensina uma ginasta a saltar, usará a Física. Na verdade, a análise de qualquer movimento complicado requer que ele seja simplificado através da Física. Tais movimentos como o de uma ginasta ou de um carro podem ser simplificados se pudermos determinar um ponto especial existente nesses corpos, chamado de centro de massa.

Por exemplo se você lançar de forma simples uma bola de tênis, ela realizará um movimento simples, ou seja tomará uma trajetória parabólica e poderemos considerar a bola como uma partícula. No entanto, se você lançar uma raquete de tênis, ou um martelo, por exemplo, o movimento desses objetos será mais complicado. por que cada parte do martelo, por exemplo, move-se de maneira diferente descrevendo cada uma sua própria trajetória e dessa forma, você não poderia considerar o martelo como uma partícula. Em vez disso, ele é um sistema de partículas com cada uma delas seguindo a sua própria trajetória. Contudo, o martelo tem um ponto especial: o centro de massa, que move-se numa trajetória parabólica. As outras partes do martelo movem-se em torno do seu centro de massa.

Observe o movimento complicado de um martelo que é lançado. O ponto vermelho indica o seu centro de massa.

Observe a trajetória de um bola que é lançada. Perceba como a trajetória do seu centro de massa descreve uma parábola.






No vídeo abaixo, vemos a trajetória do centro de massa de alguns desses objetos.

Você certamente não ganharia dinheiro lançando martelos no ar, mas poderia ganhá-lo treinando atletas de salto ornamental, ginastas e dançarinos em como saltar enquanto movimentam seus braços, pernas e tronco. Seu ponto de partida seria o centro de massa dessas pessoas, pois o seu movimento é simples.

O Centro de Massa

Definiremos o centro de massa (cm) de um sistema de partículas (o martelo, por exemplo) de forma que seja possível prever o movimento desse sistema.

O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse ali concentrada e como se todas as forças externas fossem ali aplicadas.

Nessa seção de estudos iremos discutir como determinar aonde o centro de massa de um sistema está lcalizado. Iniciaremos com um sistema de apenas algumas partículas e depois consideraremos um com grande quantidade de partículas (um corpo sólido como um martelo). No final, discutiremos como o centro de massa de um sistema quando forças externas atuam sobre o sistema.

A figura abaixo mostra duas partículas de massa m₁ e m₂ separadas por uma distância d. Escolhemos arbitrariamente a origem do eixo x, de maneira que ele coincida com a partícula de massa m₁. Definimos a posição do centro de massa (cm) desse sistema de duas partículasa como:

   (1)

Na figura ao lado, o centro de massa do sistem está indicado pela seta.

Suponha como exemplo que m₂ = 0; nesse caso, só existirá uma partícula de massa m₁ e ocentro de massa deve se localizar na posição dessa partícula. E a equação (1) terá como resultado x_cm = 0. Se m₁ = 0, existir´, novamente, apenas uma partícula (de massa m₂) e teremos o centro de massa dado por x_cm = d. Se m₁ = m₂, o centro de massa estará exatamente entre as duas partículas e x_cm = d/2. Finalmente, a equação (1) nos informa que se nem m₁ e m₂ forem zero, x_cm terá somente valores entre 0 e d, ou seja o centro de massa se localizará em algum lugar entre as duas partículas.

A figura abaixo ilustra uma situação mais geral, na qual o eixo das cordenadas está deslocado mais para a esquerda:

A posição do centro de massa pode ser agora definida como:

(2)

Perceba que se fizermos x₁ = 0, então x₂ = d e a Eq. 2 reduz-se à Eq. 1. Note também que apesar do sistema de coordenadas ter sido deslocado, a distância do centro de massa a cada partícula permanece a mesma.

Podemos reescrever a Eq. 2 como:

Na qual M é a massa total do sistema de partículas (Aqui, M = m₁ + m₂). Podemos expandir a equação mais geral, na qual n partículas localizadas sobre o eixo x compõe o sistema. Então a massa total M será: M = m₁ + m₂ + … + m_n, a localização do centro de massa será:

    (4)

O subscrito i é um índice que assume valores inteiros de 1 até n.

Se as partículas forem posicionadas de forma tridimensional, o centro de massa deve ser identificado pelas três cordenadas; por extensão da Eq. 4, são elas:

   (5)

Podemos definir a posição do centro de massa com notação vetorial. Primeiramente, vamos relembrar que a posição de uma partícula em coordenadas x_i, y_i e z_i são dadas pelo vetor posição:

  (6)

Aqui, o índice identifica a partícula e i, j e k são os vetores unitários apontando nas respectivas direções dos eixos x, y e z.

Da mesma forma, a posição do centro de massa de um sistema de partículas é dada por um vetor posição:

  (7)

As três equações escalares da Eq. 5 podem ser substituídas por uma única equação vetorial:

    (8)

Onde M é a massa total do sistema.

No vídeo a seguir temos uma interessante aplicação prática do centro de massa:

No vídeo abaixo temos a resolução de um exercício

 






CORPOS SÓLIDOS

Um objeto comum, tal como um martelo contém um número muito elevado de partículas (átomos), assim, é melhor tratá-lo como uma distribuição contínua de matéria. Dessa forma, as partículas tornam-se elementos diferenciais de massa dm. Sendo assim, as somas nas equações (5) tornam-se integrais e as coordenadas do centro de massa ficam definidas como:

 (9)

Aplicar estas equações em objetos comuns tais como uma televisão ou um ventilador seria uma tarefa bem complexa; assim iremos considerar apenas objetos uniformes. Estes objetos têm densidade (razão entre a massa do objeto e o seu volume) uniforme. Assim , a densidade ρ é a mesma tanto para um elemento do objeto, como para todo o objeto. Podemos então escrever:

  (10)

onde dV é o volume ocupado por um elemento de massa dm e V, o volume total do objeto. Substituindo dm = (M/V) dv da Eq. 10 na Eq. 9, temos:

  (11)

As